ユークリッドの互除法 プログラム javascript

Fortran - 2 つの配列から重回帰分析（...C++ で、数値からなる同サイズの配列4個を説明変数3個・目的変数1個とみなして重回帰式を計算する方法についての記録です。 実は $33$ と $19$ は互いに素（公約数が $1$ のみ）です。上のタイル張りのアニメで $(33, 19)$ をセットして確かめてみてくさい。 質問や意見などどしどしお寄せください!

過去には Fortran 等で実装しています。 ぜひともアルゴリズムを習得してください。 「互いに素」という言い回しがありまして、なかなかとっつきにくいのですが、慣れてくると非常に便利な言葉です。 互いに素である2数で分数を構成すると、これ以上約分できない既約分数になります。 例えば $12$ と $55$ について考えてみましょう。 C++ と Ruby で、ユークリッドの互除法を使って2つの自然数の最大公約数を求めるプログラムを作成してみました。まず、ユークリッドの互除法について、「自然数 a, b ( a > b ) について、a を b で割った剰余を r とすると、a と b の最大公約数は b と r の GCD に等しい。 $12$ と $30$ を一般化して $a, b$ とすると、次のようになります。 $12$ という数を素因数分解すると次のようになります。 $(4)$ 式から次の関係式「$305$ は $244$ の $1$ 倍に $61$ を加えた数」が分かります。 $12$ と $30$ の例をもう一度見てみましょう。 $12$ と $30$ から公約数である $3$ を取り出して以下のように分解してみましょう。 記号で表すことで、数値に関係なく5ステップで終了するパターンの全てを扱っていることになります。 公約数が $1$ のみである数の組のことを 例題として、$a = 2013$ と $b = 1159$ の最大公約数を求めてみましょう。 最大公約数（greatest common divisor）とは、公約数の中で最大の数です。 $(1')$ から $(5')$ までの関係式を $q_5 \neq 1$ の条件で下から解いていきましょう。

ユークリッドの互除法（ごじょほう）とは，大きな数字たちの最大公約数を素早く計算する方法です。この記事では，ユークリッドの互除法では，以下の例えば，ユークリッドの互除法を使って $390$ と $273$ の最大公約数を計算してみましょう。まず，$390$ を $273$ で割ると，商が $1$ で余りが $117$ です：よって，次に，$273$ を $117$ で割ります：よって，次に，$117$ を $39$ で割ります：割り切れました！　つまり「$117$ と $39$ の最大公約数」は $39$ です。以上により「$390$ と $273$ の最大公約数」が $39$ であることが分かりました。このように，以下では，$a$ と $b$ の最大公約数のことを $\mathrm{gcd}(a,b)$ と表します。「最大公約数」は画数が多くて書きたくないからです。難しい記号ではありません。ユークリッドの互除法で用いた，を証明します。$a$ を $b$ で割った商を $q$，余りを $r$ とおくと，・ $a,b$ がともに $m$ の倍数→ $r=a-bq$ も $m$ の倍数。・ $b,r$ がともに $m$ の倍数→ $a=bq+r$ も $m$ の倍数。以上2つの不等式より，$\mathrm{gcd}(a, b)=\mathrm{gcd}(b,r)$割り算を繰り返し行うと，余りの定義より $b > r$ なので数字はどんどん小さくなっていきます。そして，最後は必ず余りが $0$ になって停止します。そのときの割った数が，求めたい最大公約数になっています。素因数分解を利用して最大公約数を求めることもできますが，大きな数字の素因数分解よりも割り算の方が圧倒的に楽（計算量が少ない）なので応用現場ではユークリッドの互除法が用いられています。 $318691696$ と $4729749$ を素因数分解するのは相当な気合いが必要になるが割り算なら簡単にできそう。ただし，実際の入試問題でこんなに大きな整数はほとんど登場しないので，最大公約数を求めるだけだったら素因数分解を用いる方法で十分です。大学入試においては，ユークリッドの互除法は最大公約数を求める問題よりも，一次不定方程式 $ax+by=1$ に関する問題で活躍します。一次不定方程式 $ax+by=1$ の整数解 $(x,y)$ を求める問題を考えます。$8x+11y=1$ を満たす整数 $(x,y)$ を求める。よって，ポイントは，ユークリッドの互除法の式を用いて，ユークリッドの互除法：スポンサーリンクスポンサーリンク© 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. 例えば $\frac{12}{30}$ という分数は $12$ と $30$ の最大公約数 $6$ で約分できて、$\frac{2}{5}$ になります。 ユークリッドの互除法で得られた公約数がいつでも最大公約数になるのは、得られた公約数を除いた残りの部分が必ず互いに素になるからです。 ! 最大公約数 $6$ を取り出してみます。 例えば $12$ と $30$ について考えてみましょう。 評価を下げる理由を選択してください.

次に、$(4'')$ 式と $(5')$ 式を $(3')$ 式に代入して整理すると次の式になります。 連立1次方程式を解くのに「ガウスの消去法」を使用します。 設定した数を使って $r_5, r_4, r_3, r_2, b=r_1, a=r_0$ を順次求めていきます。 このアルゴリズムは、「長方形領域を同じ大きさの正方形で埋め尽くす問題」と同値になります。 $(3)$ 式から次の関係式「$854$ は $305$ の $2$ 倍に $244$ を加えた数」が分かります。

以下の手順で筆算を、手を動かしてやってみると、そのアルゴリズムの概要がつかめてきます。 どんな大きな数に対してでも「最大公約数を少ない手順で求めるアルゴリズム」がユークリッドの互除法です。 この定理を割り算の商と余りに適用します。 大きな数のときでも数回のステップで最大公約数を求めることができる強力な方法です。 先ずは次の定理を証明します。 Euclid_js: 拡張ユークリッド互除法をJavaScriptで; zjs: ブラウザで動く学会タイマー; nlmate: 2重ループで頭の体操 「 」をクリックすると，アプリケーションを使うことができます． Euclid_js: 拡張ユークリッド互除法をJavaScriptで まず、$(5')$ 式を $(4')$ 式に代入して整理すると次の式になります。 ある数の約数（divisor）とは、その数を割り切る数のことです。 まずは、素因数分解してみます。 (6596, 3400), (5130, 2340), (3355, 2379), (1071, 1029), (1649, 221), (969, 357) 等、色々な数の組をセットして試してみてください。 [第5ステップ] 次に、$r_4 \div r_5$ の商 $q_5$ と 余り $r_6$ を求めましょう。 連立1次方程式を解くのに「ガウスの消去法」を使用します。 最大じゃない公約数 $3$ を取り出してみます。 上記結果をまとめます。 C++ なのでオブジェクト指向な作りにしています。File: 以下のコマンドで C++ ソースをコンパイルする。何も出力されなければ成功です。実際に実行して最大公約数を計算する。今回作成した Ruby スクリプトは以下の通り。（オブジェクト指向な作りにしている）File: まず、実行権限を付与。そして、実行。今回はちょっと簡単すぎました。しかし、様々なアルゴリズムを考えてみる事によって、同じアルゴリズムでも言語によってどう異なってくるのか等を把握できるようになると思います。以上。 約数や公約数や最大公約数を見つけるには、割り切る数を手探りで探すのが単純な方法です。 $r_6$ には最大公約数にしたい数を、$q_6, q_5, q_4, q_3, q_2, q_1$ にはタイル張りの各ステップでの正方形の枚数にしたい数を設定します。 はてなブログをはじめよう！ tsukasa_dさんは、はてなブログを使っています。あなたもはてなブログをはじめてみませんか？ 素因数分解に関しては $12$ と $30$ から公約数である $2$ を取り出して以下のように分解してみましょう。 ユークリッドの互除法は、一手前の割る数を、一手前の余りで割る、を余りが $0$ になるまで続けるアルゴリズムです。 最後に、$(2'')$ 式と $(3'')$ 式を $(1')$ 式に代入して整理すると次の式になります。 最大公約数を求める方法と聞かれてあなたは何と答えますか？割り算を逆に書いて、小さい数からどんどん割っていくというのが真っ先に思い浮かぶと思います。それでは、3355と2379の最大公約数を求めてみましょう。このように大きい数の最大公約数を求めるとき、2でも割れない、3でも、5でも…と繰り返していくのは非常に時間がかかってしまいます。そんな悩みを解決することができるのが「ユークリッドの互除法」という方法です。どんなに大きな数字になっても少ない手順で最大公約数を求めるこ … $r_0 = a = 2013,\, r_1 = b = 1159$ とします。

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