株式会社ピクセラのブログ最大公約数 (GCD: Greatest Common Divisor) の計算方法として、ユークリッドの互除法というアルゴリズムがよく知られているので紹介します。以下では、整数 逆に 最大公約数は 最大公約数は python での実装例を下記に示します。ユークリッドの互除法の計算量は 手順の過程において より精密な評価として 例えば となる整数 実はすでにユークリッドの互除法の手順に より python での実装例を下記に示します。コメントは受け付けていません。 冒頭でも紹介した「不定方程式」ですが、簡単に復習すると、 （未知数の数が式の数より多いため）解がひとつに定まらない（＝不定）方程式のことを言います。 皆さんが小学校でどのように割り算を学んだかを私が知っているはずもありませんが、どんな教わり方をしていたとしても割り算という演算を式に直してしまえば必ず以下のようになります。 ユークリッドの互除法と不定方程式とは. こんにちは、ウチダショウマです。突然ですが、皆さんはこういった悩みを抱えてはいませんか？整数の性質における最大の鬼門。それが「よって本記事では、「の僕がわかりやすく解説します。ユークリッドの互除法の原理を一言でまとめるならば…これに尽きます。ただ、これだけだとわかりづらいと思うので、図解して説明します。割り算の等式 $a=bq+r$ を繰り返して考えていくことによって、値はどんどん小さくなっていきます。よって、最初はわかりづらかった $GCD( \ a \ , \ b \ )$ であっても、と繰り返していけば、必ずいつかは簡単に求めることができる、という原理なわけです。等式 $GCD( \ a \ , \ b \ )=GCD( \ b \ , \ r \ )$ を示すコツとして、の $2$ つに分ける、という発想があります。この発想は、知らないと中々出てこないと思います。ということで、証明ついでに押さえておきましょう。一々書くのが面倒なので、$GCD( \ a \ , \ b \ )=G$，$GCD( \ b \ , \ r \ )=G’$ と定義し直す。① $G≦G’$ を示す。$a$ と $b$ の最大公約数が $G$ であるから、ある互いに素な自然数 $k$，$l$ を用いて$$a=Gk \ , \ b=Gl$$と表すことができる。これを等式「 $a=bq+r$ 」に代入すると、$Gk=Glq+r$ となり、$r$ についてまとめると$$r=G(k-lq)$$ここで、$k-lq$ は整数なので $G$ は $r$ の約数となり、$G$ は $b$ の約数でもあるので、$b$ と $r$ のよって、$b$ と $r$ の”② $G’≦G$ を示す。ほとんど同じ方針で示すことができるので省略します。式だけ書くと、ある互いに素な自然数 $m$，$n$ を用いて$$a=G'(mq+n)$$を導くことができればOKです。したがって①，②より、$G≦G’$ かつ $G≧G’$ なので、$G=G’$ が成り立つ。これで、「さて、原理は理解できたので、次に考えるのは活用方法です。ユークリッドの互除法の活用は、主にの $2$ つですので、順に解説していきます。まあ、ユークリッドの互除法の原理の中に最大公約数が出てきたので、活用としても当然出てきますよね。もし素因数分解ができるのであれば、最大公約数は簡単に求めることができました。ただこの問題のように、(1) 互除法を使ってどんどん割っていくと、$6499=1261×5+194$$1261=194×6+97$$194=97×2$したがって、$GCD(6499 \ , \ 1261)=GCD( \ 194 \ , \ 97 \ )=97$ と求まる。(2) 互除法を使ってどんどん割っていくと、$1073=527×2+19$$527=19×27+14$$19=14×1+5$$14=5×2+4$$5=4×1+1$したがって、$GCD( \ 1073 \ , \ 527 \ )=GCD( \ 4 \ , \ 1 \ )=1$、つまり互いに素である。(2)の場合、$GCD( \ 19 \ , \ 14 \ )=1$ の時点でわかるので、そこで止めても構いません。ただ、余りが $1$ になるまで互除法を行ったのには深いわけがあります。それは…次の方程式を満たす $1$ 組の簡単な解のことを「ここでは、さっきの「最大公約数を求める問題」で行ったユークリッドの互除法を用いて、(1)(2)それぞれを満たす特殊解を求めていきましょう。(1) 互除法を逆の順番で書き、かつ両辺を入れ替えて、かつ移項すると、$$97×2=194 \ ⇔ \ 97=194-97 …①$$この $3$ つの式から、よって、$x=7$，$y=-36$ が整数解の $1$ つ（特殊解）である。(2) 互除法を逆の順番で書き、かつ両辺を入れ替えて、かつ移項すると、$$5=4×1+1 \ ⇔ \ 1=5-4×1 …①$$$$14=5×2+4 \ ⇔ \ 4=14-5×2 …②$$$$19=14×1+5 \ ⇔ \ 5=19-14×1 …③$$この $5$ つの式から、よって、$x=111$，$y=-226$ が整数解の $1$ つ（特殊解）である。…やっていることは理解できましたか？ユークリッドの互除法を使うことでのように、地道な道のりですが数字を変換していくことができるのです！また、ここで仮に「 $1073x+527y=2$ 」という一次不定方程式の特殊解について考えてみると、(2)より$$1073×111-527×226=1$$なので、両辺を $2$ 倍することで$$1073×222-527×452=2$$となり、$x=222$，$y=452$ と特殊解がすぐに求まります。以上より、こんなことも判明してしまいます。ここまで理解できると、いろんな知識が結びついてきて面白いのではないでしょうか＾＾あとの話は「さて、ユークリッドの互除法についての重要な部分の解説は終わりました。あとはコラム的なお話です。具体的にはこの $2$ つについて解説します。さきほど、ユークリッドの互除法を実際にやってみて、と多くの方が感じたと思います。でもご安心ください。僕もそう感じていますので。(笑)そこで、書く量をもう少し抑えるために、何にも変なことはしていません。割り算を、筆算の形で計算しただけです。筆算の方がので、慣れてきたらこの裏ワザを使ってみるのもオススメです♪もちろん、$1$ 辺が $1 \ (cm)$ の正方形であれば、$377×319$ 個使って敷き詰めることができますが、ここで聞かれているのは「実はこの問題は、ユークリッドの互除法で計算することに対応しているのです！なるべく大きな正方形をどんどん除いていく方針で考えていこう。すると、以下のアニメーションのようになる。つまりこの操作は、$377=319×1+58$$319=58×5+29$$58=29×2+0$と、よって、$377$ と $319$ の最大公約数が $29$ であることがわかったので、条件を満たす正方形で最大のものは、$1$ 辺が $29 \ (cm)$ の正方形である。代数的な計算が、図形と結びつく瞬間はたまらなく気持ちいいですね！本記事の要点を改めて $3$ つまとめます。ユークリッドの互除法をしっかり理解して、整数マスターになろう！！終わりです。© 2019 遊ぶ数学.
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