問題として示されている範囲の枠外にいったん出ると、その枠外で任意の経路をとることができるため、「指定された橋を全て1度ずつ通って戻ってくるルート」をとることも可能となる。ただし、いわゆる「題意」からは外れる。 一筆書き可能かどうかの判定法. あるただし実際には、きっぷの規則は「同じ駅を2度通過してはいけない」という原則によっており、この記事で説明している
下の図1を点aからスタートして一筆書きするやり方は全部で6通りあります。同じように図2を点aからスタートして一筆書きするとき、そのやり方は全部で何通りありますか。 12通り; 14通り; 16通り; 18通り; 20通り; 想定問題
一筆書き画像まとめ - naver まとめ でも、一筆書きはトポロジーの考え方を使うと、簡単に法則が導きだせ、少なくとも「それが一筆書きできるのか」と「どの点」で書き始めて「どの点」で書き終えればいいのかはあっという間にわかります。 町の人が言ったことはできるだろうか。 以下は後者の狭い意味での一筆書きについて記す。 All Rights Reserved.「追加する」ボタンを押してください。閉じる※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。不適切な投稿でないことを報告しました。 こんにちは、ももやまです。 つぎの①〜⑤の中から一筆書きできるものを2つ選んでみましょう。引用元：（解答は２の例題2の解説に書いています。） 今回は （一筆書きの判定法は2章にまとめています。） また、グラフ理論で習うオイラーグラフ・ハミルトングラフとはどんなグラフか、どうやったら判定ができるかについてもまとめています。 前回のグラフ理論の記事（第9羽）はこちら！（グラフ理論における基本用語のまとめです。） あるグラフにおいて一筆書き（すべての辺を1度だけ通るようなたどり方）ができてかつ書き始めの点と書き終わりの点が同じ回路（経路のこと）のことをまた、オイラー回路を持つようなグラフ、つまり まずは実際にオイラーグラフかどうかを地道にたどりながら確認していきましょう。次の①～③の中から、オイラーグラフとなるものを選びなさい。 経路をたどってみましょう。すると、①と③は一筆書きができてかつ始点に戻ってこれるので一筆書きの経路（オイラー回路）を持ちますね。しかし、②は一筆書きはできるのですがどうがんばっても始点に戻ることができません。なのでオイラー回路とはいえませんね。 オイラーグラフの判定は簡単に行うことができます。先程例題で出した3つのグラフの次数（つながっている辺の数）を確認してみましょう。オイラーグラフである①と③の頂点の次数は全部偶数となっていますね。実はこれは偶然ではなく、オイラーグラフの条件となっているのです。 つまり、あるグラフがオイラーグラフ（一筆書きして元に戻ってこれるようなグラフ）であるための条件は、 [簡単な理由（証明ほどではない）]始点（終点）の点とそれ以外の点に場合分けを考えます。 始点以外の点は、必ず点を通過する前に次数が+1、通過後に次数が+1されるので点を通過するたびに次数は+2されますね。なのでまた、始点に関してもスタート次に+1、ゴール次に+1され合計+2されるのでよって、すべての頂点の次数が偶数であれば必ずオイラーグラフとなるのです！ グラフ 有向グラフの場合もやっておきましょう。例えば、下のようなグラフは一筆書きできてかつ始点に戻ることができますね。（経路は省略します…）有向グラフの場合、 有向グラフの場合もオイラーグラフであるかどうかは次数を確認することで判定ができます。しかし、有向グラフの次数は入次数と出次数の2つにわかれていましたね。 ここで少し復習しておきましょう。ある点に入ってくる辺の数を表す入次数、出次数などグラフ理論の基本用語についてはこちらにまとめているので今までに出た基本用語の中でわからないようなものがあればこちらで確認しましょう。 無向グラフと同じように始点（終点）の点とそれ以外の点に場合分けを考えます。 始点以外の点は、点を通過する前に入次数+1、通貨した後に出次数+1されますね。また、始点の場合、スタート次に出次数+1、ゴール次に入次数+1されます。なのでオイラーグラフの場合、入次数と出次数は常に同じになりますね。これが有向グラフの場合のオイラーグラフの条件となります。 有向グラフ いよいよ本題です。半オイラーグラフは つまり、一筆書きができるグラフは始点に戻れる「オイラーグラフ」と一筆書きができない「半オイラーグラフ」の2つにわかれます。 「半オイラーグラフ」の場合もオイラーグラフのときと同様に 始点以外の点は、オイラーグラフと同じく、点を通過する前に次数が+1、通過後に次数が+1され、合計+2されるので次数は必ず偶数となります。しかし、始点と終点はそれぞれ異なるので始点で次数が+1、始点ではない終点で次数が+1されるので つまり、 グラフ （一筆書きの始点は必ずどちらかの奇点に、終点は始点ではない奇点となる） あるグラフが一筆書きできるための条件をまとめると下のようになります。 あるグラフが一筆書きできるかどうかを判定するときは、それぞれのグラフの次数が奇数の点（奇点）を数えればよい。奇点が0個 → 一筆書きができ、かつ始点に戻ってくることができる奇点が2個 → 一筆書きができ、かつ始点に戻ってくることができない では、最初に出したあの一筆書き問題を解説していきましょう。 次の①～⑤の中から、一筆書きできるグラフを2つ見つけ、番号で答えなさい。また、その2つが「オイラーグラフ」・「半オイラーグラフ」のどちらであるかを答えなさい。まずは、それぞれの交点の次数を書いてみましょうすると、②と④の奇点は2つとなりますね。なので②と④は一筆書きができることがわかります。（オレンジ色の線は一筆書きのたどり方を表します。） （すべての点を1度だけ通って元に戻れるようなたどり方のことを 例題1で用意した3つのグラフを例に説明しましょう。 この3つのグラフは、下のようにたどることでそれぞれの点を1度だけたどることができますね。なので3つともハミルトングラフとなります！ 1つハミルトングラフかどうかを確認する問題を出しましょう。例題2のグラフ①～⑤の中で、ハミルトングラフとなるものは何個ありますか。 ⑤以外は下のようにたどるとすべての点を1度ずつたどることができるのでハミルトングラフとなります。オイラーグラフの場合は次数に注目することで簡単にオイラーグラフかどうかを判定することができましたね。 しかし、あるグラフがハミルトングラフかどうかを確実に判定する方法はもちろんハミルトングラフかどうかを確実にかつ短時間で判定するようなアルゴリズムも現在は存在しません しかし、確実にハミルトングラフと断言できるための条件は2つあります。 ディラックの定理は、つまり、3つ以上の点があるグラフの点の数 この定理を少し言い換えて、あるグラフの最小次数 （あるグラフの 例えば、下の2つのグラフはディラックの定理が成立するので必ずハミルトングラフであると言うことができます。 数式で表すと、最小次数 （ディラックの定理を満たさなくてもハミルトングラフとなるグラフはあるので注意） ディラックの定理の条件を少しゆるくしたのがオーレの定理です。 オーレの定理は、つまり、頂点数が 実際に定理を適用する際には 例えば、下のグラフは最小次数は2（2倍すると4）に対し、頂点数は5となってしまうのでディラックの定理は使えません。しかしオーレの定理を使うと、隣接していない2点の次数の和の最小は5に対し、頂点数も5となるのでハミルトングラフであることを示すことができます。 ちなみに （理由）ディラックの定理を満たすということは、どのグラフも頂点数の半分以上の次数を持っているので、どの2点の次数の和も必ず頂点数以上となる。よって隣接していない2点の次数の和も当然頂点数以上になるのでオーレの定理も必ず満たす。 では2問ほど練習してみましょう。つぎの(1), (2)の条件を満たすようなグラフを1つ書きなさい。(1) オイラーグラフであるがハミルトングラフではないグラフ（※できれば例題や練習2で使っていないグラフを書きましょう。）次の(1)〜(3)の条件を満たすグラフを①〜⑤の中から番号ですべて選びなさい。(1) 一筆書きで書けるグラフ (1) 次数3の点が4つあるのでオイラーグラフではない解答(1) ①・③・④ 下にオイラーグラフ・半オイラーグラフ・ハミルトングラフの場合のたどり方（オイラー回路、ハミルトン閉路）を示しています。 今回は一筆書きが可能かの判定方法、およびグラフ理論におけるオイラーグラフ・ハミルトングラフについて解説をしました。 これで一筆書きができるかどうかの判定をゴリ押しせずにすることができますね。 次回はグラフ理論における木構造について解説していきたいとおもいます。NP完全問題について知りたいよって人はこちらの記事をご覧ください。とチェックすればOKです。
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