を得る。ここに、最後の不等号は上記の仮定から従う。次に、を得る。よって、
なお、余りの範囲を がある。 とおけば、m も l も a, b, ... , k の倍数であるから、定理 1.1 によって r も a, b, ... , k の倍数、すなわち、公倍数である。ここで、l は正のもののうち最小のものだったから、さて、ここで最大公約数を m とおき、d は任意の公約数とする。また、m, d の最小公倍数を l とおく。仮定によって、a は m の倍数であり、d の倍数である。したがって、定理 1.3 によって、a は l の倍数である。同様に、b, c, ... , k も l の倍数。したがって、l は a, b, c, ... , k の公倍数。したがって m は「最大」なので 定理 1.3 のみを使って証明することもできる。a, b の最小公倍数は当然 b の倍数であるから kb とかける。ab は明らかに a, b の公倍数であるから定理 1.3 より kb の倍数である。よって a は k の倍数である。そこで 最大公約数と最小公倍数を求めるアルゴリズム 最大公約数と最小公倍数を求めるアルゴリズムとして、ユークリッドの互除法を紹介しましょう。 まず、上と同じように 18 と 24 の最大公約数を求めてみよう。 18 と 24 で大きい数、24 から 小さい数 18 を引きます。 (1) $m = 0$ を法とする合同関係は, 等号関係に他ならない. (i) (ii) すなわち、(i) (ii) によって数学的帰納法から、自然数について成り立つことが分かった。 さて、ここで最小公倍数を l とおき、m は任意の公倍数とする。定理 1.2 に基づいて、 次に、負数の場合である。 よって最小公倍数は必ず存在する。 さて、ここで最大公約数を m とおき、d は任意の公約数とする。また、m, d の最小公倍数を l とおく。仮定によって、a は m の倍数であり、d の倍数である。したがって、定理 1.3 によって、a は l の 最小公倍数をあるイデアルの生成元として得ることができましたが、最大公約数も同じようにあるイデアルの生成元として得ることができます。 二つの整数 a,b から生成されるイデアル (a,b) は単項イデアルですから (d)=(a,b)=(a)+(b) となる正整数 d が存在します。 『原論』第9巻命題20この証明は、しばしば次のような形で表現される。 (2), (3), (4) より したがって、再び ここで、(5), (6) は仮定に矛盾。したがって、唯一性が証明された。以上により除法の原理が証明された。 という表示により、は有限個の閉集合の和集合であるから閉集合である。したがって閉集合 この積の分子は奇素数であり、分母はそれぞれに対応する分子に一番近い 現代においても、新たな証明が次々に提案されている。その中でも、2006年に発表されたフィリップ・サイダックによる証明は非常に簡潔である みなさん、こんにちは。今回は「数学A」の整数の性質について語ります。具体的には最大公約数と最小公倍数の問題を「ユークリッド互除法」という公式で解くだけでなく、倍数の証明についても行います。また、最後に整数の性質についての大学入試の問題を解く
次に、その唯一性を証明する。仮にとある整数 だったとする。すると、 その条件の証明と整数解を持つときに一般解を求める方法。 一次不定方程式ax+by=cが整数解を持つ条件は非常にきれいな形で表されます。 ～定期試験から数学オリンピックま … よって、最後に 0 の場合であるが、これは自明。
となる。しかし、この式は 整数全体からなる集合 （ただし、任意の無限等差数列は、開集合であると同時に、
より、b の倍数であることから、これも整数論の根幹の部分を成す基本的かつ大事な定理である。
12 と 20 の最小公倍数は 60, 記号で 6, 7 は互いに素。92, 15 は互いに素。3, 4, 5 は対ごとに互いに素である。4, 6, 7 は互いに素であるが、次に述べるものは直観的に考えて合っているもので、証明なしに受け入れられるものである。それを反省する意味でもここに証明を載せる。 ユークリッド 『原論』第9巻命題20 [1] で、素数が無数に存在することが示されている。 その証明は、次の通りである [2]。 a, b, …, k を任意に与えられた素数のリストとする。 その最小公倍数 P: = a × b × ⋯ × k に 1 を加えた数 P + 1 は、素数であるか、合成数かのいず … (2) $m = 1$ を法とする合同関係はすべて真である. 以上より全ての整数において除法の原理を満たす q, r が存在することが証明された。 この形の証明のために、「ユークリッドは、1878年、を利用して、素数が無数にあることを証明しているフェルマー数たちがが得られるので、ある素数 素数は有限個の が成り立つ。を得る。左辺は有限値であるのに対し、右辺は素数の逆数和は（無限大に）発散することが示されば、素数は無数に存在することが直ちに従う。素数の逆数和が発散することは、オイラーが初めて証明したが、以下は素数の逆数和は収束すると仮定する。である。素数全体を2つのグループに分け、以下、と表せるから、
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