再帰呼び出しの動作がちょっとイメージしにくいので図にしてみます。まず同じ関数が複数あると考えてみます。処理内容が同じ関数がたくさんあって、それを順番に呼び出すようなイメージです。サンプルとして階乗計算をJava で実装してみます。 ユークリッドの互除法とは？ユークリッドの互除法を知らないあなたも、まずは実際にどんな解き方をするのか見てみましょう。実際に3355と2379の最大公約数を求めてみます。このように 小さい数で大きい数を割る あまりで割る数を割る ユークリッドの互除法をはじめて学習したとき「なぜ、ユークリッドの互除法を使うと最大公約数が求められるのか、原理がわからない…」「ユークリッドの互除法の証明を見ても、いまいちピンとこない…」と思われる方は多いのではないでしょうか。 ユークリッドの互除法をはじめて学習したときと思われる方は多いのではないでしょうか。ここではそして、ユークリッドの互除法を応用する上でポイントとなるこれは、他のところでも使える考え方なので、ぜひ理解してみてください。まず最初に、ユークリッドの互除法を知らない方や忘れてしまった方のために、”ユークリッドの互除法とは、どういうものか？”ということから始めましょう。例として、\( 56 \) と \( 36 \) の最大公約数を考えてみましょう。\( 56 \) を \( 36 \) を割ると\[ 56 \ \div \ 36 = 1 \cdots 20 \]となるので\( 56 \) と \( 36 \) の最大公約数は、\( 36 \) と \( 20 \) の最大公約数と同じであるということをユークリッドの互除法は言っているのです。そして、実際に最大公約数を求める場合は、割った数\( 36 \) と余りの \( 20 \) に対しても\[ 36 \ \div \ 20 = 1 \cdots 16 \]というふうに、割り算を行います。このように割り算を繰り返していくことで、数がどんどんと小さくなっていき、最終的に最大公約数を見つけられる、ということです。つまり、\( 56 \) と \( 36 \) の最大公約数は、ユークリッドの互除法を使うと\begin{align*}と割り算を繰り返すことで、\( 56 \) と \( 36 \) の最大公約数は \( 4 \) である、と求めることができるのです。では、なぜユークリッドの互除法が成り立ち、最大公約数が求められるのでしょうか。それを理解するために、次のようなタイル貼りの問題を考えていきます。（問題）縦\( 56 \)、横 \( 36 \) の長方形の敷地がある。いま、この敷地に正方形のタイルで隙間なく敷き詰めたい。隙間なく敷き詰められるタイルのうち、１辺の長さが最大のタイルを求めよ。（解説）縦\( 56 \)、横 \( 36 \) の長方形の敷地に対して、１辺が\( x \)の正方形のタイルで隙間なく敷き詰められると仮定します。まず、１辺の長さが\( x \)のタイルを横に敷き詰めていきましょう。すると、以下の図のように、横幅にピッタリと収まります。このように、端まで敷き詰めたとき、タイルを\( n \)枚使ったとすると\[ 36 = x \times n \]が成り立ちますので、また、縦についても、同様に考えるとさらに、２列目、３列目…とタイルを敷き詰めていきましょう。すると、以下の図のように、1辺が\( 36 \)の正方形の敷地を、1辺が\( x \)のタイルで隙間なく敷き詰められることがわかります。いま、１辺\( x \)のタイルで縦\( 56 \)、横 \( 36 \) の敷地が敷き詰められると仮定したので、まだタイルが敷き詰められていない縦 \( 20 \)、横 \( 36\) の長方形も１辺\( x \)のタイルで隙間なく敷き詰められなくてはなりません。つまりということが言えます。さらに、縦\( 20 \)、横\( 36 \)の長方形についても、タイルを敷き詰めていきましょう。すると、以下の図のように、1辺が\( x \)の正方形で1辺が\( 20 \) の正方形を敷き詰めることができることがわかります。このことから、さらに、残りの縦\( 20 \)、横\( 16 \)の長方形も１辺\( x \)の正方形で隙間なく敷き詰められなければなりません。つまりということになります。さらに、これまでやってきたようにタイルを敷き詰めていくことで、以下のような図を得ることができます。つまりということになります。このことから、さらに、縦\( 4 \)、横 \( 16 \) の長方形は１辺が \( 4 \) の正方形で敷き詰めることができます。また、１辺が\( 5 \) 以上の正方形では、縦\( 4 \)、横 \( 16 \) の長方形からはみ出します。よって、つまり、ここまでの流れをまとめると、以下のようになります。\( x \)は、\( 56 \)と\( 36 \)の公約数であるつまりということが言えるのです。ユークリッドの互除法を図で見ることで、その原理や仕組みが理解できたでしょうか。ここでは、復習の意味も込めて、ポイントとなるのはということです。まず、\( x \)が\( 56 \) と \( 36 \) の公約数であるとします。つまり、\( 56 \) も \( 36 \) も\( x \)で割り切れることになります。また、\[ 56 = 36 + 20 \]というようにそうすることによってということがわかります。つまりということがわかったのです。さらに、\( 36 \)についても同じように\[ 36 = 20 + 16 \]と分けることができますので、\( 16 \) も\( x \)で割り切れなければならない。\( 20 \)も同様に\[ 20 = 16 + 4 \]とでき、\( 16 \) も\( x \)で割り切れなければならない。また、ここまで来ると、数字も小さくなり、\( 16 \) と\( 4 \) の最大公約数は \( 4 \) であることが簡単にわかります。つまり、ここでも\( x \)は、\( 56 \)と\( 36 \)の公約数であるとなります。つまり\( 56 \)と\( 36 \)の最大公約数は\( 4 \) であるとわかります。この考え方を使うと、”不定方程式を解く際に、なぜユークリッドの互除法を使うのか？”ということがわかります。※詳細については、 再帰アルゴリズムについては既に，「再帰アルゴリズムについて」で，またユークリッドの互除法 についても，「ユークリッドの互除法」，「拡張ユークリッドの互除法」で説明しました。 ここでは，再帰アルゴリズムを使って，ユークリッドの互除法を実現してみましょう。 メニュー最大公約数を求める方法と聞かれてあなたは何と答えますか？ユークリッドの互除法を知らないあなたも、まずは実際にどんな解き方をするのか見てみましょう。このようにどうしてユークリッドの互除法で最大公約数が求まるのでしょうか。ということを証明します。ということがわかりました。さて、ユークリッドの互除法は最大公約数を求める方法である、ということが感覚的にも理屈的にもわかっていただけたんじゃないかなと思います。この問題を解くのにユークリッドの互除法は一見結びつかないかもしれません。このように互除法の計算式をそれぞれあまりについて整理してみます。（右側の式）これは与えられた式にx=3,y=-4を代入した式ですね。今回のように、入試ではCopyright © Studyplus, Inc. 2016
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